Номер 2.106 — ГДЗ математика 6 класс Виленкин
№ 2.106.
1) Какие числа могут быть взаимно простыми:
а) два чётных числа; б) чётное и нечётное числа; в) два простых числа; г) простое и составное числа; д) два последовательных натуральных числа?
2) Какие числа всегда взаимно простые:
а) два чётных числа; б) чётное и нечётное числа; в) два простых числа; г) простое и составное числа; д) два последовательных натуральных числа?
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни определение взаимно простых чисел — это числа, у которых НОД равен 1. Проверь каждый случай, подумав: могут ли эти числа иметь общий делитель, больший чем 1? Особое внимание на пункт д) — почему два подряд идущих числа не могут поделиться на одно и то же число?
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Напомним: два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.
Часть 1) Какие числа МОГУТ быть взаимно простыми:
a) Два чётных числа — НЕ МОГУТ. Оба делятся на 2, значит НОД ≥ 2. Например: 4 и 6, НОД(4,6) = 2.
b) Чётное и нечётное числа — МОГУТ. Пример: 4 и 9, НОД(4,9) = 1 ✓
c) Два простых числа — МОГУТ. Пример: 3 и 5, НОД(3,5) = 1 ✓
d) Простое и составное числа — МОГУТ. Пример: 5 и 6, НОД(5,6) = 1 ✓
e) Два последовательных натуральных числа — МОГУТ. Пример: 7 и 8, НОД(7,8) = 1 ✓
Часть 2) Какие числа ВСЕГДА взаимно простые:
a) Два чётных числа — НЕ ВСЕГДА. Они никогда не будут взаимно простыми, так как оба делятся на 2.
b) Чётное и нечётное числа — НЕ ВСЕГДА. Пример: 6 и 9, НОД(6,9) = 3 ≠ 1.
c) Два простых числа — НЕ ВСЕГДА, если это одно и то же число. Но два разных простых числа ВСЕГДА взаимно простые, так как у простого числа делители только 1 и оно само. Если числа разные, общего делителя нет.
d) Простое и составное числа — НЕ ВСЕГДА. Пример: 3 и 9, НОД(3,9) = 3 ≠ 1.
e) Два последовательных натуральных числа — ВСЕГДА ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ! Если два числа идут друг за другом (n и n+1), то общий делитель может делить только на 1. Доказательство: любой общий делитель чисел n и n+1 делит их разность (n+1) - n = 1, значит НОД = 1.