Номер 172 — ГДЗ математика 6 класс Мерзляк
№ 172.
Существует ли прямоугольник, длины сторон которого выражены натуральными числами в сантиметрах, причём одна из них на 1 см длиннее другой, и площадь которого равна 12345 см2?
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь меньшую сторону как x, тогда большая будет (x + 1). Составь уравнение x(x + 1) = 12345. Проверь, есть ли натуральное решение, вычислив дискриминант или подобрав два последовательных числа, произведение которых равно 12345.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим меньшую сторону прямоугольника как x см (натуральное число).
Тогда большая сторона будет (x + 1) см.
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: x(x + 1) = 12345
Раскроем скобки: x² + x = 12345
Перенесём всё в левую часть: x² + x - 12345 = 0
Чтобы проверить, существует ли натуральное решение, вспомним, что x(x + 1) — это произведение двух последовательных натуральных чисел.
Если такие числа существуют, то 12345 должно быть равно произведению двух последовательных натуральных чисел.
Проверим: нужно найти, между какими числами лежит √12345.
√12345 ≈ 111,1
Проверим произведения близких чисел: 111 × 112 = 12432 (слишком много) 110 × 111 = 12210 (слишком мало)
Между этими произведениями нет ровно 12345.
Делимость: разложим 12345 на множители. 12345 = 5 × 2469 = 5 × 3 × 823
Чтобы число было произведением двух последовательных натуральных чисел, нужно, чтобы x² + x - 12345 = 0 имело натуральное решение.
Дискриминант: D = 1 + 4 × 12345 = 1 + 49380 = 49381
√49381 ≈ 222,2 (не целое число!)
Поскольку дискриминант не является полным квадратом, уравнение не имеет натуральных решений.