Номер 1505 — ГДЗ математика 6 класс Мерзляк
№ 1505.
Стороны прямоугольника равны 20 см и 10 см. Одну сторону увеличили на 20 %, а соседнюю уменьшили на 20 %. Увеличилась или уменьшилась площадь прямоугольника и на сколько процентов? Имеет ли значение, какую сторону увеличили, а какую уменьшили? Ответ обоснуйте, решив задачу в общем виде.
💡 Подсказка (без ответа)
Сначала найди новую площадь при конкретных изменениях сторон (20 см и 10 см). Потом запиши стороны в общем виде как a и b, увеличь одну на 20 % (получится 1,2a), уменьши другую на 20 % (получится 0,8b) и умножь: какой результат получится?
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Решаем задачу в два этапа: сначала проверим на числах, потом выведем общую формулу.
Этап 1. Расчёт на конкретных числах
Исходные стороны: a = 20 см и b = 10 см Исходная площадь: S₁ = 20 × 10 = 200 см²
Вариант 1: первую сторону увеличиваем на 20 %, вторую уменьшаем на 20 %
- Новая первая сторона: 20 + 20 % от 20 = 20 + 4 = 24 см
- Новая вторая сторона: 10 - 20 % от 10 = 10 - 2 = 8 см
- Новая площадь: S₂ = 24 × 8 = 192 см²
Вариант 2: первую сторону уменьшаем на 20 %, вторую увеличиваем на 20 %
- Новая первая сторона: 20 - 20 % от 20 = 20 - 4 = 16 см
- Новая вторая сторона: 10 + 20 % от 10 = 10 + 2 = 12 см
- Новая площадь: S₂ = 16 × 12 = 192 см²
Вывод по числам: в обоих случаях получилась одинаковая площадь 192 см².
Изменение площади: 200 - 192 = 8 см² В процентах: (8 / 200) × 100 % = 4 %
Этап 2. Решение в общем виде
Пусть стороны прямоугольника равны a и b. Исходная площадь: S₁ = a × b
После изменения:
- Одна сторона увеличена на 20 %: становится a × (1 + 0,2) = 1,2a
- Соседняя сторона уменьшена на 20 %: становится b × (1 - 0,2) = 0,8b
Новая площадь: S₂ = 1,2a × 0,8b = 0,96ab
Сравнение: S₂ = 0,96 × (ab) = 0,96 × S₁
Изменение: S₂ / S₁ = 0,96 = 96 %
Это означает площадь стала 96 % от исходной, то есть уменьшилась на (100 - 96) = 4 %
Ответ: площадь не зависит от того, какую сторону увеличивать, а какую уменьшивать. Результат всегда один и тот же: 1,2a × 0,8b = 0,8 × 1,2 × ab = 0,96ab. При умножении порядок множителей не важен (переместительное свойство умножения).