Номер 591 — ГДЗ математика 5 класс Мерзляк
Редакция 2023
№ 591.
Ольга выбрала некоторое натуральное число и нашла остатки при делении его на 3, на 6 и на 9. Оказалось, что сумма остатков равна 15. Найдите эти остатки.
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни, какие остатки максимальны при делении на каждое число. Сложи максимальные остатки и проверь, равна ли сумма 15. Потом найди число, которое дает эти остатки.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим неизвестное натуральное число буквой n.
Когда мы делим число n: — на 3, остаток может быть: 0, 1 или 2 — на 6, остаток может быть: 0, 1, 2, 3, 4 или 5 — на 9, остаток может быть: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8
Обозначим остатки: — остаток от деления на 3: r₃ — остаток от деления на 6: r₆ — остаток от деления на 9: r₉
По условию: r₃ + r₆ + r₉ = 15
Максимально возможная сумма остатков: 2 + 5 + 8 = 15
Это означает, что остатки должны быть максимальными! То есть: — r₃ = 2 — r₆ = 5 — r₉ = 8
Проверим, существует ли такое число. Если число дает остаток 8 при делении на 9, то это число можно записать как n = 9k + 8 для некоторого натурального k.
Проверим остаток при делении на 6: (9k + 8) : 6. Подставим k = 1: (9 + 8) : 6 = 17 : 6 = 2 (остаток 5). ✓
Проверим остаток при делении на 3: (9k + 8) : 3 = (9k : 3) + (8 : 3) = 3k + (остаток 2) ✓
Итак, число n = 17 (или любое число вида 9k + 8, например, 26, 35, 44...): — 17 : 3 = 5 (остаток 2) ✓ — 17 : 6 = 2 (остаток 5) ✓ — 17 : 9 = 1 (остаток 8) ✓
Сумма: 2 + 5 + 8 = 15 ✓
Редакция 2019
№ 591.
Стороны прямоугольного листа бумаги имеют целочисленную длину (в сантиметрах), а площадь листа равна 18 см2. Сколько квадратов со стороной 3 см можно вырезать из этого листа?
💡 Подсказка (без ответа)
Найди все пары целых чисел, которые при умножении дают 18. Для каждого прямоугольника проверь, сколько раз сторона 3 см помещается в каждую из сторон листа.
Решение по шагам
Нужно найти, какие стороны может иметь прямоугольник с площадью 18 см².
Шаг 1. Найдём все возможные стороны прямоугольника.
Если стороны — целые числа, а площадь = 18 см², то нужно найти все пары множителей числа 18:
- 1 × 18 = 18
- 2 × 9 = 18
- 3 × 6 = 18
Получается три варианта прямоугольников:
- Размеры 1 см × 18 см
- Размеры 2 см × 9 см
- Размеры 3 см × 6 см
Шаг 2. Проверим, сколько квадратов 3 × 3 см можно вырезать из каждого.
Квадрат со стороной 3 см имеет площадь 3 × 3 = 9 см².
Для листа 1 × 18 см:
- По одной стороне помещается: 1 ÷ 3 = 0 (не помещается целый квадрат)
- Квадратов: 0
Для листа 2 × 9 см:
- По стороне 2 см: 2 ÷ 3 = 0 (не помещается)
- Квадратов: 0
Для листа 3 × 6 см:
- По стороне 3 см: 3 ÷ 3 = 1 квадрат
- По стороне 6 см: 6 ÷ 3 = 2 квадрата
- Всего квадратов: 1 × 2 = 2
Проверка: 2 квадрата × 9 см² = 18 см² ✓