Номер 297 — ГДЗ математика 5 класс Мерзляк
Редакция 2023
№ 297.
Решая задачи 219 (1) и 219 (2), вы нашли значения числовых выражений 1 + 2 + 3 + … + 10 и 1 + 2 + 3 + … + 100. Заметим, что к тем же результатам можно прийти, найдя значения выражений (11 · 10) : 2 и (101 · 100) : 2 соответственно. Выскажите гипотезу, по какой формуле можно найти значение S выражения 1 + 2 + 3 + … + n, где n – любое натуральное число, больше 1. Проверьте свою гипотезу для: 1) n = 15; 2) n = 20; 3) n = 30.
💡 Подсказка (без ответа)
Посмотри, какие два множителя используются в каждой из предложенных формул. Заметь, как они связаны с числом n. Попробуй предположить, какая формула подойдёт для любого натурального числа n, а потом проверь её, применив к конкретным значениям.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Разберёмся пошагово.
Шаг 1. Анализируем примеры из задачи
Для 1 + 2 + 3 + … + 10:
- Прямой подсчёт: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55
- По формуле (11 · 10) : 2 = 110 : 2 = 55 ✓
Для 1 + 2 + 3 + … + 100:
- По формуле (101 · 100) : 2 = 10100 : 2 = 5050 ✓
Шаг 2. Выскажем гипотезу
Замечаем закономерность:
- Для n = 10: используем (10 + 1) · 10 : 2 = (n + 1) · n : 2
- Для n = 100: используем (100 + 1) · 100 : 2 = (n + 1) · n : 2
Гипотеза: S = (n + 1) · n : 2 или S = n · (n + 1) : 2
Шаг 3. Проверяем гипотезу
1) Для n = 15:
Прямой подсчёт: 1 + 2 + 3 + … + 15 = ?
- Сгруппируем: (1 + 15) + (2 + 14) + (3 + 13) + (4 + 12) + (5 + 11) + (6 + 10) + (7 + 9) + 8
- = 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 8 = 16 · 7 + 8 = 112 + 8 = 120
По формуле: S = 15 · 16 : 2 = 240 : 2 = 120 ✓
2) Для n = 20:
По формуле: S = 20 · 21 : 2 = 420 : 2 = 210
Проверка сложением: (1 + 20) + (2 + 19) + (3 + 18) + … + (10 + 11) = 21 · 10 = 210 ✓
3) Для n = 30:
По формуле: S = 30 · 31 : 2 = 930 : 2 = 465
Проверка логикой: у нас 30 чисел, их можно разбить на 15 пар, каждая пара даёт сумму 31: (1 + 30) + (2 + 29) + … + (15 + 16) = 31 · 15 = 465 ✓
Редакция 2019
№ 297.
Найдите на рисунке 93 острые, тупые и прямые углы.