Номер 898 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 898.
Докажите, что не имеет решений уравнение:
а) 4х2 + 4ху + у2 + 1 = 0;
б) х2 – 6ху + 9у2 + 2 = 0;
в) х2 + у2 + 4х + 5 = 0;
г) х2 + у2 – 2х – 4у + 6 = 0.
💡 Подсказка (без ответа)
Свёрни левую часть в полные квадраты (формулы а² + 2аb + b² = (а + b)²). После этого покажи, что сумма неотрицательных выражений и положительного числа всегда больше нуля.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Чтобы доказать, что уравнение не имеет решений, нужно показать, что левая часть всегда положительна (или всегда больше нуля) при любых значениях переменных.
а) 4х² + 4ху + у² + 1 = 0
Замечаем, что 4х² + 4ху + у² — это полный квадрат: 4х² + 4ху + у² = (2х)² + 2·(2х)·у + у² = (2х + у)²
Подставляем: (2х + у)² + 1 = 0
Полный квадрат (2х + у)² ≥ 0 при всех х и у. Поэтому (2х + у)² + 1 ≥ 1 > 0 всегда.
Уравнение не имеет решений.
б) х² – 6ху + 9у² + 2 = 0
Замечаем полный квадрат: х² – 6ху + 9у² = х² – 2·х·(3у) + (3у)² = (х – 3у)²
Подставляем: (х – 3у)² + 2 = 0
Полный квадрат (х – 3у)² ≥ 0 при всех х и у. Поэтому (х – 3у)² + 2 ≥ 2 > 0 всегда.
Уравнение не имеет решений.
в) х² + у² + 4х + 5 = 0
Выделяем полный квадрат по х: х² + 4х + у² + 5 = (х² + 4х + 4) – 4 + у² + 5 = (х + 2)² + у² + 1
Получаем: (х + 2)² + у² + 1 = 0
(х + 2)² ≥ 0 и у² ≥ 0 при всех х и у. Поэтому (х + 2)² + у² + 1 ≥ 1 > 0 всегда.
Уравнение не имеет решений.
г) х² + у² – 2х – 4у + 6 = 0
Выделяем полные квадраты: х² – 2х + у² – 4у + 6 = (х² – 2х + 1) – 1 + (у² – 4у + 4) – 4 + 6 = (х – 1)² + (у – 2)² + 1
Получаем: (х – 1)² + (у – 2)² + 1 = 0
(х – 1)² ≥ 0 и (у – 2)² ≥ 0 при всех х и у. Поэтому (х – 1)² + (у – 2)² + 1 ≥ 1 > 0 всегда.
Уравнение не имеет решений.