Номер 899 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 899.
Найдите значения параметра а, при которых система уравнений х2 + у2 = 9 и у – х = а имеет одно решение; имеет два решения; не имеет решений. При каком наименьшем по модулю значении параметра а система уравнений имеет одно решение?
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни, что первое уравнение — это окружность, второе — прямая. Подставь выражение у = х + а из второго уравнения в первое и получишь квадратное уравнение. Количество решений исходной системы зависит от дискриминанта этого уравнения.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Система состоит из уравнения окружности х² + у² = 9 (радиус 3, центр в начале координат) и прямой у – х = а, или у = х + а (прямая с наклоном 45°).
Переведём второе уравнение: у = х + а. Подставим в первое:
х² + (х + а)² = 9
Раскроем скобки: х² + х² + 2ах + а² = 9 2х² + 2ах + а² – 9 = 0
Это квадратное уравнение относительно х. Его дискриминант: D = (2а)² – 4 · 2 · (а² – 9) D = 4а² – 8а² + 72 D = –4а² + 72 D = 4(18 – а²)
Рассмотрим три случая:
Одно решение системы — когда D = 0: 4(18 – а²) = 0 18 – а² = 0 а² = 18 а = ±3√2 ≈ ±4,24
Два решения системы — когда D > 0: 4(18 – а²) > 0 18 – а² > 0 а² < 18 –√18 < а < √18 –3√2 < а < 3√2 примерно –4,24 < а < 4,24
Нет решений — когда D < 0: 4(18 – а²) < 0 18 – а² < 0 а² > 18 |а| > 3√2 то есть а < –3√2 или а > 3√2 примерно а < –4,24 или а > 4,24
Наименьшее по модулю значение а, при котором система имеет одно решение: |а| = 3√2 ≈ 4,24
Наименьшее: а = 3√2 или а = –3√2 (оба имеют одинаковый модуль).
Если выбрать самое близкое к нулю: а = ±3√2 (оба подходят одинаково).