Номер 868 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 868.
В последовательности (хn) каждый член с нечётным номером равен 2а, а с чётным равен 2b. Напишите формулу n-го члена этой последовательности.
💡 Подсказка (без ответа)
Обрати внимание на то, как меняется член последовательности в зависимости от чётности номера n. Попробуй использовать выражение (-1)ⁿ, которое принимает разные значения для нечётных и чётных n. Вспомни, что (-1) в нечётной степени даёт -1, а в чётной степени даёт 1.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Давайте разберёмся в структуре последовательности.
Дано:
- Члены с нечётными номерами (1, 3, 5, 7, ...) равны 2a
- Члены с чётными номерами (2, 4, 6, 8, ...) равны 2b
То есть: x₁ = 2a, x₂ = 2b, x₃ = 2a, x₄ = 2b, x₅ = 2a, ...
Нужно написать одну формулу, которая работает для любого номера n.
Шаг 1: Определим, как различаются нечётные и чётные номера.
- Если n — нечётное число, то хn = 2a
- Если n — чётное число, то хn = 2b
Шаг 2: Используем свойство чётности. Четность номера n можно определить через остаток от деления на 2:
- Если n = 2k - 1 (то есть n нечётное), остаток 1
- Если n = 2k (то есть n чётное), остаток 0
Шаг 3: Построим универсальную формулу. Можно использовать выражение (-1)ⁿ:
- Когда n нечётное: (-1)ⁿ = -1
- Когда n чётное: (-1)ⁿ = 1
Поэтому формула:
хn = a(1 + (-1)ⁿ) + b(1 - (-1)ⁿ)
Проверим:
- n = 1 (нечётное): х₁ = a(1 - 1) + b(1 + 1) = 2b — неправильно!
Попробуем по-другому:
хn = a(1 - (-1)ⁿ) + b(1 + (-1)ⁿ)
Проверим:
- n = 1: х₁ = a(1 - (-1)) + b(1 + (-1)) = a·2 + b·0 = 2a ✓
- n = 2: х₂ = a(1 - 1) + b(1 + 1) = a·0 + b·2 = 2b ✓
- n = 3: х₃ = a(1 - (-1)) + b(1 + (-1)) = 2a + 0 = 2a ✓
Ответ: хn = a(1 - (-1)ⁿ) + b(1 + (-1)ⁿ)
Или можно записать проще через упрощение: хn = 2a·(1-(-1)ⁿ)/2 + 2b·(1+(-1)ⁿ)/2