Номер 867 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 867.
Найдите сумму первых n членов последовательности (хn), если хn = 1/(2n – 1)(2n + 1)
💡 Подсказка (без ответа)
Разложи дробь на две простейшие дроби, используя метод неопределённых коэффициентов. Заметишь, что в сумме члены будут взаимно сокращаться (телескопический ряд) — это упростит вычисление.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Найдём сумму первых n членов последовательности, где хn = 1/((2n – 1)(2n + 1)).
Шаг 1. Разложим дробь на простейшие дроби.
Используем метод разложения: 1/((2n – 1)(2n + 1)) = A/(2n – 1) + B/(2n + 1)
Умножим обе части на (2n – 1)(2n + 1): 1 = A(2n + 1) + B(2n – 1)
Подставим удобные значения n:
- При 2n – 1 = 0 (n = 1/2): 1 = A(2) → A = 1/2
- При 2n + 1 = 0 (n = –1/2): 1 = B(–2) → B = –1/2
Получаем: хn = (1/2) · 1/(2n – 1) – (1/2) · 1/(2n + 1) = (1/2)[1/(2n – 1) – 1/(2n + 1)]
Шаг 2. Найдём сумму первых n членов (телескопический ряд).
Sn = х₁ + х₂ + х₃ + ... + хn
Sn = (1/2)[1/1 – 1/3] + (1/2)[1/3 – 1/5] + (1/2)[1/5 – 1/7] + ... + (1/2)[1/(2n – 1) – 1/(2n + 1)]
Вынесем 1/2 за скобку: Sn = (1/2)[1/1 – 1/3 + 1/3 – 1/5 + 1/5 – 1/7 + ... + 1/(2n – 1) – 1/(2n + 1)]
При раскрытии скобок большинство членов сокращаются (телескопирование): Sn = (1/2)[1 – 1/(2n + 1)]
Шаг 3. Упростим результат.
Sn = (1/2) · (2n + 1 – 1)/(2n + 1)
Sn = (1/2) · 2n/(2n + 1)
Sn = n/(2n + 1)