Номер 869 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 869.
Известно, что у = f(х) – линейная функция и х1, х2, х3, ... – арифметическая прогрессия. Докажите, что последовательность f(х1), f(х2), ... является арифметической прогрессией.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй определение линейной функции f(x) = kx + b и свойство арифметической прогрессии (постоянная разность между соседними членами). Вычисли разность f(xₙ₊₁) – f(xₙ) и покажи, что она одна и та же для всех n.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Дано:
- у = f(x) – линейная функция, значит f(x) = kx + b, где k и b – некоторые числа
- x₁, x₂, x₃, ... – арифметическая прогрессия с разностью d
Это означает: x₂ = x₁ + d, x₃ = x₂ + d = x₁ + 2d, и так далее
Найдём разность между соседними членами последовательности f(x₁), f(x₂), f(x₃), ...
Вычислим f(x₂) – f(x₁): f(x₂) – f(x₁) = k·x₂ + b – (k·x₁ + b) = k·x₂ – k·x₁ = k(x₂ – x₁) = k·d
Вычислим f(x₃) – f(x₂): f(x₃) – f(x₂) = k·x₃ + b – (k·x₂ + b) = k·x₃ – k·x₂ = k(x₃ – x₂) = k·d
Вычислим f(xₙ₊₁) – f(xₙ) для любого n: f(xₙ₊₁) – f(xₙ) = k·xₙ₊₁ + b – (k·xₙ + b) = k(xₙ₊₁ – xₙ) = k·d
Вывод: Разность между каждым соседним членом последовательности f(x₁), f(x₂), f(x₃), ... одна и та же и равна kd (это постоянное число).
По определению арифметической прогрессии, последовательность f(x₁), f(x₂), f(x₃), ... является арифметической прогрессией с разностью kd.
Что и требовалось доказать.