Номер 848 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 848.
Найдите все значения а, при которых один из корней уравнения х2 – 3,75х + а3 = 0 является квадратом другого.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь корни как x₁ и x₂, пусть x₂ = x₁². Используй теорему Виета: x₁ + x₂ = 3,75 и x₁ · x₂ = a³. Подставь условие и найди x₁, затем вычисли a.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим корни уравнения как x₁ и x₂. По условию один корень — квадрат другого. Пусть x₂ = x₁².
Шаг 1: Применяем теорему Виета. Для уравнения x² – 3,75x + a³ = 0: • Сумма корней: x₁ + x₂ = 3,75 • Произведение корней: x₁ · x₂ = a³
Шаг 2: Подставляем условие x₂ = x₁². • x₁ + x₁² = 3,75 • x₁ · x₁² = a³, откуда x₁³ = a³
Шаг 3: Решаем уравнение x₁ + x₁² = 3,75. Переносим всё в одну сторону: x₁² + x₁ – 3,75 = 0
Умножаем на 4, чтобы избежать дробей: 4x₁² + 4x₁ – 15 = 0
По формуле дискриминанта: D = 16 + 240 = 256 = 16²
x₁ = (-4 + 16)/8 = 12/8 = 1,5 или x₁ = (-4 – 16)/8 = -20/8 = -2,5
Шаг 4: Находим a для каждого значения x₁.
Если x₁ = 1,5: • x₁³ = (1,5)³ = 3,375 • a³ = 3,375 • a = 1,5
Проверка: x₂ = (1,5)² = 2,25 Сумма: 1,5 + 2,25 = 3,75 ✓ Произведение: 1,5 · 2,25 = 3,375 = (1,5)³ ✓
Если x₁ = -2,5: • x₁³ = (-2,5)³ = -15,625 • a³ = -15,625 • a = -2,5
Проверка: x₂ = (-2,5)² = 6,25 Сумма: -2,5 + 6,25 = 3,75 ✓ Произведение: -2,5 · 6,25 = -15,625 = (-2,5)³ ✓