Номер 847 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 847.
Сумма квадратов корней х1 и х2 уравнения х2 – 3ах + а2 = 0 равна 1,75. Найдите х1 и х2.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй теорему Виета для выражения суммы и произведения корней. Потом вспомни формулу: сумма квадратов двух чисел равна квадрату их суммы минус удвоенное произведение.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Шаг 1: Применим теорему Виета
Для уравнения x² - 3ax + a² = 0 по теореме Виета:
- x₁ + x₂ = 3a
- x₁ · x₂ = a²
Шаг 2: Выразим сумму квадратов корней
Сумма квадратов: x₁² + x₂² = 1,75
Используем формулу: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂
Шаг 3: Подставим формулы Виета
x₁² + x₂² = (3a)² - 2·a² = 9a² - 2a² = 7a²
Шаг 4: Составим уравнение
7a² = 1,75
a² = 1,75 ÷ 7 = 0,25
a = ±0,5
Шаг 5: Найдём x₁ и x₂
Решаем исходное уравнение x² - 3ax + a² = 0
При a = 0,5: x² - 1,5x + 0,25 = 0
По формуле корней: D = 2,25 - 1 = 1,25 √D = √1,25 = √(5/4) = √5/2 ≈ 1,118
x = (1,5 ± 1,118)/2
x₁ = (1,5 + 1,118)/2 ≈ 1,309 x₂ = (1,5 - 1,118)/2 ≈ 0,191
При a = -0,5: x² + 1,5x + 0,25 = 0
x = (-1,5 ± 1,118)/2
x₁ ≈ -0,191 x₂ ≈ -1,309
Проверка: (-0,191)² + (-1,309)² ≈ 0,0365 + 1,7135 ≈ 1,75 ✓