Номер 837 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 837.
Если в многочлен ах3 + bx2 + cx + d вместо а, b, c, и d подставлять числа –7, 4, –3 и 6 в каком угодно порядке, будут получаться многочлены с одной переменной, например: –7х3 + 4х2 – 3х + 6, 4х3 – 7х2 + 6х – 3 и т.д. Докажите, что все такие многочлены имеют общий корень.
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомните, чему равно значение многочлена в точке x = 1. Найдите сумму всех четырёх чисел (–7, 4, –3, 6). Сделайте вывод о том, какой корень будет у любого многочлена, составленного из этих коэффициентов.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Проверим, является ли какое-то число корнем для всех возможных многочленов, которые получаются при перестановке коэффициентов из набора {–7, 4, –3, 6}.
Шаг 1. Найдём сумму всех коэффициентов.
Сложим числа: –7 + 4 + (–3) + 6 = 0
Шаг 2. Вспомним, что означает сумма коэффициентов.
Для любого многочлена p(x) = ax³ + bx² + cx + d значение p(1) равно a + b + c + d.
Это потому что: p(1) = a·1³ + b·1² + c·1 + d = a + b + c + d
Шаг 3. Применим это к нашей задаче.
Используем числа –7, 4, –3, 6 в любом порядке. Какими бы мы ни расставили эти числа на места a, b, c, d, сумма a + b + c + d всегда равна:
–7 + 4 + (–3) + 6 = 0
Поэтому для любого полученного многочлена: p(1) = a + b + c + d = 0
Шаг 4. Вывод.
Это значит, что x = 1 — корень каждого такого многочлена, так как p(1) = 0.