Номер 838 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 838.
Докажите, что многочлен х4 – 4х3 – 6х2 – 3х + 9 не имеет отрицательных корней.
💡 Подсказка (без ответа)
Попробуйте представить многочлен в виде суммы, выделив полный квадрат. Проанализируйте знаки отдельных частей при отрицательном x.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Докажем, что многочлен x⁴ – 4x³ – 6x² – 3x + 9 не имеет отрицательных корней.
Предположим, что x — отрицательный корень многочлена. Тогда x < 0, и верно равенство:
x⁴ – 4x³ – 6x² – 3x + 9 = 0
Переделаем это уравнение:
x⁴ – 4x³ – 6x² – 3x + 9 = 0
При x < 0 проанализируем знаки каждого слагаемого:
• x⁴ > 0 (четная степень — всегда положительная) • –4x³ > 0 (так как x³ < 0 при x < 0, то –4x³ > 0) • –6x² < 0 (так как x² > 0, то –6x² < 0) • –3x > 0 (так как x < 0, то –3x > 0) • 9 > 0 (константа положительная)
Преобразуем многочлен:
f(x) = x⁴ – 4x³ – 6x² – 3x + 9
При x < 0: f(x) = x⁴ + (–4x³) + (–6x²) + (–3x) + 9 = x⁴ – 6x² + 9 + (–4x³ – 3x) = x⁴ – 6x² + 9 – x(4x² + 3)
Заметим, что: x⁴ – 6x² + 9 = (x²)² – 6x² + 9 = (x² – 3)²
Тогда: f(x) = (x² – 3)² – x(4x² + 3)
При x < 0: • (x² – 3)² ≥ 0 (квадрат всегда неотрицателен) • x < 0, а (4x² + 3) > 0 • Поэтому –x(4x² + 3) > 0
Следовательно: f(x) = (x² – 3)² – x(4x² + 3) > 0 при x < 0
Это означает, что при любом отрицательном x значение многочлена положительно, поэтому он не может равняться нулю.
Вывод: многочлен x⁴ – 4x³ – 6x² – 3x + 9 не имеет отрицательных корней.