Номер 795 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 795.
В геометрической прогрессии (bn), знаменатель которой положителен, b1 · b2 = 1/27, а b3 · b4 = 3. Найдите сумму первых четырёх членов этой прогрессии.
💡 Подсказка (без ответа)
Выразите b1 · b2 и b3 · b4 через b1 и знаменатель q. Разделите одно уравнение на другое, чтобы найти q⁴, затем найдите q и b1.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Решим задачу по шагам.
Дано:
- Геометрическая прогрессия (bn) с положительным знаменателем q > 0
- b1 · b2 = 1/27
- b3 · b4 = 3
- Найти: S4 = b1 + b2 + b3 + b4
Шаг 1. Выразим произведения через b1 и q.
b1 · b2 = b1 · (b1 · q) = b1² · q = 1/27
b3 · b4 = (b1 · q²) · (b1 · q³) = b1² · q⁵ = 3
Шаг 2. Найдём q⁴, разделив второе уравнение на первое.
(b1² · q⁵) / (b1² · q) = 3 / (1/27)
q⁴ = 3 · 27 = 81
Шаг 3. Найдём q.
Так как q > 0, то q = ⁴√81 = 3
Шаг 4. Найдём b1 из первого уравнения.
b1² · q = 1/27
b1² · 3 = 1/27
b1² = 1/81
Так как прогрессия положительная (q > 0), то b1 = 1/9
Шаг 5. Найдём все четыре члена прогрессии.
b1 = 1/9
b2 = b1 · q = 1/9 · 3 = 1/3
b3 = b1 · q² = 1/9 · 9 = 1
b4 = b1 · q³ = 1/9 · 27 = 3
Шаг 6. Найдём сумму первых четырёх членов.
S4 = b1 + b2 + b3 + b4 = 1/9 + 1/3 + 1 + 3
Приведём к общему знаменателю 9:
S4 = 1/9 + 3/9 + 9/9 + 27/9 = 40/9
Ответ: S4 = 40/9 или 4 4/9