Номер 783 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 783.
В арифметической прогрессии четырнадцатый член равен 140, а сумма первых четырнадцати членов равна 1050. Найдите первый член и разность этой прогрессии.
💡 Подсказка (без ответа)
Составь два уравнения: одно из формулы n-го члена (a_n = a₁ + (n - 1)d), другое из формулы суммы (S_n = (a₁ + a_n) · n / 2). Подставь известные значения и реши систему.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Решим задачу пошагово.
Дано:
- a₁₄ = 140 (четырнадцатый член)
- S₁₄ = 1050 (сумма первых 14 членов)
Нужно найти: a₁ и d (первый член и разность)
Шаг 1. Используем формулу для n-го члена арифметической прогрессии: a_n = a₁ + (n - 1)d
Для четырнадцатого члена: a₁₄ = a₁ + 13d = 140 ... (уравнение 1)
Шаг 2. Используем формулу для суммы первых n членов: S_n = (a₁ + a_n) · n / 2
Для первых 14 членов: S₁₄ = (a₁ + a₁₄) · 14 / 2 = 1050
Упростим: (a₁ + a₁₄) · 7 = 1050 a₁ + a₁₄ = 150
Подставим a₁₄ = 140: a₁ + 140 = 150 a₁ = 10 ... (нашли первый член)
Шаг 3. Найдем разность d из уравнения 1: 10 + 13d = 140 13d = 130 d = 10 ... (нашли разность)
Шаг 4. Проверка:
- a₁₄ = 10 + 13 · 10 = 10 + 130 = 140 ✓
- S₁₄ = (10 + 140) · 14 / 2 = 150 · 7 = 1050 ✓