Номер 779 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 779.
Площадь прямоугольного треугольника равна 44 см2. Если один из его катетов уменьшить на 1 см, а другой увеличить на 2 см, то площадь будет равна 50 см2. Найдите катеты данного треугольника.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначьте катеты треугольника буквами a и b. Составьте два уравнения: одно из формулы площади треугольника для исходных катетов, другое — для изменённых катетов. Из первого уравнения выразите произведение ab, а из второго найдите соотношение между a и b.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим катеты прямоугольного треугольника как a см и b см.
Шаг 1: Составляем первое уравнение из условия о площади
Площадь прямоугольного треугольника: S = (1/2) × a × b
По условию: (1/2) × a × b = 44
Умножим обе части на 2: a × b = 88
Шаг 2: Составляем второе уравнение
Когда один катет уменьшили на 1 см (это катет a), а другой увеличили на 2 см (это катет b), новая площадь стала 50 см²:
(1/2) × (a - 1) × (b + 2) = 50
Умножим обе части на 2: (a - 1) × (b + 2) = 100
Шаг 3: Раскроем скобки второго уравнения
a × b + 2a - b - 2 = 100
Подставим a × b = 88: 88 + 2a - b - 2 = 100 2a - b + 86 = 100 2a - b = 14 b = 2a - 14
Шаг 4: Подставляем в первое уравнение
a × (2a - 14) = 88 2a² - 14a = 88 2a² - 14a - 88 = 0
Разделим на 2: a² - 7a - 44 = 0
Шаг 5: Решаем квадратное уравнение
По формуле или разложением: (a - 11)(a + 4) = 0
a = 11 или a = -4
Так как катет не может быть отрицательным: a = 11 см
Шаг 6: Находим второй катет
b = 2 × 11 - 14 = 22 - 14 = 8 см
Шаг 7: Проверка
Первая площадь: (1/2) × 11 × 8 = 44 см² ✓
Вторая площадь: (1/2) × (11 - 1) × (8 + 2) = (1/2) × 10 × 10 = 50 см² ✓