Номер 778 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 778.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41 см, а его площадь равна 180 см2. Найдите катеты этого треугольника.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь катеты как a и b. Составь два уравнения: одно из теоремы Пифагора (a² + b² = 41²), другое из формулы площади (ab = 360). Вырази один катет через другой и подставь в первое уравнение.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим катеты прямоугольного треугольника как a и b.
Из условия задачи составим два уравнения:
По теореме Пифагора (гипотенуза равна 41 см): a² + b² = 41² a² + b² = 1681
По формуле площади прямоугольного треугольника (площадь равна 180 см²): (1/2) · a · b = 180 a · b = 360
Из второго уравнения выразим b через a: b = 360/a
Подставим в первое уравнение: a² + (360/a)² = 1681 a² + 129600/a² = 1681
Умножим всё на a²: a⁴ + 129600 = 1681a² a⁴ - 1681a² + 129600 = 0
Это квадратное уравнение относительно a². Обозначим a² = x: x² - 1681x + 129600 = 0
Найдём дискриминант: D = 1681² - 4 · 129600 = 2825761 - 518400 = 2307361 = 1519²
Найдём корни: x = (1681 ± 1519) / 2
x₁ = (1681 + 1519) / 2 = 3200 / 2 = 1600 x₂ = (1681 - 1519) / 2 = 162 / 2 = 81
Тогда: Если a² = 1600, то a = 40 см Если a² = 81, то a = 9 см
Находим соответствующие значения b: Если a = 40, то b = 360/40 = 9 см Если a = 9, то b = 360/9 = 40 см
Проверка: 40² + 9² = 1600 + 81 = 1681 = 41² ✓ (1/2) · 40 · 9 = 180 ✓