Номер 633 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 633.
Пусть (bn) – последовательность, в которой b1 = –3, bk + 1 = bk + 6k + 3. Докажите, что эту последовательность можно задать формулой bn = 3n2 – 6.
💡 Подсказка (без ответа)
Проверьте два условия: 1) Подставьте n = 1 в формулу и убедитесь, что получится b₁ = –3. 2) Вычислите разность bn+1 – bn через формулу и проверьте, что она равна 6n + 3.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нужно доказать, что формула bn = 3n² – 6 подходит для последовательности, где b₁ = –3 и bk+1 = bk + 6k + 3.
Шаг 1. Проверим формулу для первого члена
Подставим n = 1 в формулу bn = 3n² – 6: b₁ = 3 · 1² – 6 = 3 – 6 = –3 ✓
Первый член совпадает с условием.
Шаг 2. Проверим рекуррентное соотношение
Если формула верна, то:
- bn = 3n² – 6
- bn+1 = 3(n + 1)² – 6
Развернём bn+1: bn+1 = 3(n² + 2n + 1) – 6 = 3n² + 6n + 3 – 6 = 3n² – 3 + 6n
Шаг 3. Найдём разность
bn+1 – bn = (3n² + 6n + 3 – 6) – (3n² – 6) = 3n² + 6n + 3 – 6 – 3n² + 6 = 6n + 3
Это означает: bn+1 = bn + 6n + 3 ✓
Это совпадает с заданным рекуррентным соотношением bk+1 = bk + 6k + 3.
Вывод
Так как формула bn = 3n² – 6:
- даёт правильное значение b₁ = –3
- удовлетворяет рекуррентному соотношению bk+1 = bk + 6k + 3
то она правильно задаёт всю последовательность. Доказано.