Номер 632 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 632.
Докажите, что при любом натуральном n верно равенство
1 · 4 + 2 · 7 + 3 · 10 + ... + n(3n + 1) = n(n + 1)2.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй метод математической индукции. Сначала проверь равенство для n = 1, затем предположи, что оно верно для n = k, и докажи его справедливость для n = k + 1. При доказательстве шага индукции вынеси общий множитель (k + 1) и упрости выражение в скобках.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Докажем это равенство методом математической индукции.
Шаг 1: Проверим базу индукции (n = 1)
Левая часть: 1 · 4 = 4 Правая часть: 1 · (1 + 1)² = 1 · 2² = 1 · 4 = 4
Левая часть = Правая часть ✓
Шаг 2: Сформулируем предположение индукции
Предположим, что равенство верно при n = k, то есть: 1 · 4 + 2 · 7 + 3 · 10 + ... + k(3k + 1) = k(k + 1)²
Шаг 3: Докажем, что равенство верно при n = k + 1
Нужно показать, что: 1 · 4 + 2 · 7 + 3 · 10 + ... + k(3k + 1) + (k + 1)(3(k + 1) + 1) = (k + 1)(k + 2)²
Возьмем левую часть. По предположению индукции, сумма первых k членов равна k(k + 1)².
Добавим (k + 1)-й член: k(k + 1)² + (k + 1)(3(k + 1) + 1)
Упростим второе слагаемое: (k + 1)(3k + 3 + 1) = (k + 1)(3k + 4)
Теперь имеем: k(k + 1)² + (k + 1)(3k + 4)
Вынесем (k + 1) за скобки: (k + 1)[k(k + 1) + (3k + 4)]
Упростим выражение в скобках: k(k + 1) + 3k + 4 = k² + k + 3k + 4 = k² + 4k + 4 = (k + 2)²
Получилось: (k + 1)(k + 2)²
Это и есть правая часть для n = k + 1! ✓
Вывод
По методу математической индукции равенство верно для любого натурального числа n.