Номер 631 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 631.
Докажите, что при любом натуральном n сумма 1/1 · 2 + 1/2 · 3 + 1/3 · 4 + ... + 1/n(n + 1) может быть вычислена по формуле Sn = n/n + 1.
💡 Подсказка (без ответа)
Попробуй разложить каждую дробь 1/(k(k+1)) в виде разности двух дробей: 1/k - 1/(k+1). Тогда вся сумма будет телескопической, и большая часть слагаемых сократится.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нужно доказать, что сумма дробей вида 1/(k(k+1)) для k от 1 до n равна n/(n+1).
Шаг 1. Разложим каждую дробь на простые дроби.
Заметим, что: 1/(k(k+1)) = 1/k - 1/(k+1)
Проверим это: 1/k - 1/(k+1) = (k+1)/(k(k+1)) - k/(k(k+1)) = (k+1-k)/(k(k+1)) = 1/(k(k+1)) ✓
Шаг 2. Распишем сумму, используя это разложение.
S_n = 1/(1·2) + 1/(2·3) + 1/(3·4) + ... + 1/(n(n+1))
S_n = (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ... + (1/n - 1/(n+1))
Шаг 3. Раскроем скобки и заметим, что это телескопический ряд.
S_n = 1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/n - 1/(n+1)
Почти все слагаемые взаимно уничтожаются (сокращаются):
- вторая 1/2 сокращается с (-1/2)
- вторая 1/3 сокращается с (-1/3)
- и так далее...
Шаг 4. Остаются только первое и последнее слагаемые.
S_n = 1 - 1/(n+1) = (n+1)/(n+1) - 1/(n+1) = (n+1-1)/(n+1) = n/(n+1)
Что и требовалось доказать.