Номер 630 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 630.
Докажите, что при любом натуральном n верно равенство
1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + ... + n(n + 1) = 1/3n(n + 1)(n + 2).
💡 Подсказка (без ответа)
Используй метод математической индукции. Сначала проверь, верно ли равенство при n = 1. Затем предположи, что оно верно для n = k, и докажи, что оно верно для n = k + 1, подставив в левую часть дополнительный слагаемое (k + 1)(k + 2).
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Докажем это равенство методом математической индукции.
Шаг 1. Проверим базу индукции (n = 1):
Левая часть: 1 · 2 = 2
Правая часть: 1/3 · 1 · 2 · 3 = 1/3 · 6 = 2
Левая часть = правой части. ✓
Шаг 2. Предположим, что равенство верно для n = k:
1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + ... + k(k + 1) = 1/3 · k(k + 1)(k + 2)
Это наше предположение индукции.
Шаг 3. Докажем, что равенство верно для n = k + 1:
Нужно показать: 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + ... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = 1/3 · (k + 1)(k + 2)(k + 3)
Берём левую часть. По предположению индукции первые k членов дают 1/3 · k(k + 1)(k + 2):
1/3 · k(k + 1)(k + 2) + (k + 1)(k + 2) = ?
Шаг 4. Приведём к общему знаменателю:
= 1/3 · k(k + 1)(k + 2) + 3/3 · (k + 1)(k + 2)
= 1/3 · (k + 1)(k + 2) · (k + 3)
Вынесем (k + 1)(k + 2) за скобки:
= (k + 1)(k + 2) · (1/3 · k + 1)
= (k + 1)(k + 2) · (k/3 + 3/3)
= (k + 1)(k + 2) · (k + 3)/3
= 1/3 · (k + 1)(k + 2)(k + 3)
Это именно то, что нужно доказать!
Шаг 5. Вывод:
По принципу математической индукции равенство верно при любом натуральном n.