Номер 629 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 629.
Проверьте, что при n = 1, 2, 3 верна формула 13 + 23 + 33 + ... + n3 = $$\frac{n^2(n + 1)^2}{4}$$. Докажите, что эта формула верна при любом натуральном n.
💡 Подсказка (без ответа)
Для проверки подставьте каждое значение n в обе части формулы и посчитайте. Для доказательства используйте метод математической индукции: проверьте базу (n = 1), предположите верность для n = k, а затем докажите для n = k + 1.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Проверим формулу для конкретных значений n, а потом докажем её в общем виде.
Часть 1. Проверка для n = 1, 2, 3
Формула: 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = n²(n+1)²/4
При n = 1:
Левая часть: 1³ = 1
Правая часть: 1² · 2² / 4 = 1 · 4 / 4 = 1
1 = 1 ✓
При n = 2:
Левая часть: 1³ + 2³ = 1 + 8 = 9
Правая часть: 2² · 3² / 4 = 4 · 9 / 4 = 36 / 4 = 9
9 = 9 ✓
При n = 3:
Левая часть: 1³ + 2³ + 3³ = 1 + 8 + 27 = 36
Правая часть: 3² · 4² / 4 = 9 · 16 / 4 = 144 / 4 = 36
36 = 36 ✓
Часть 2. Доказательство методом математической индукции
Шаг 1. База индукции
Для n = 1 мы уже проверили, что формула верна.
Шаг 2. Индукционное предположение
Предположим, что формула верна при n = k, то есть:
1³ + 2³ + 3³ + ... + k³ = k²(k+1)²/4
Шаг 3. Индукционный переход
Докажем, что формула верна при n = k + 1, то есть:
1³ + 2³ + 3³ + ... + k³ + (k+1)³ = (k+1)²(k+2)²/4
Назовём левую часть L:
L = k²(k+1)²/4 + (k+1)³
Вынесем (k+1)² за скобки:
L = (k+1)² · [k²/4 + (k+1)]
Приведём к общему знаменателю в скобках:
L = (k+1)² · [k²/4 + 4(k+1)/4]
L = (k+1)² · [k² + 4k + 4]/4
Заметим, что k² + 4k + 4 = (k+2)²
L = (k+1)² · (k+2)²/4
Это точно соответствует формуле для n = k + 1. Значит, если формула верна для n = k, то она верна и для n = k + 1.
Вывод: По принципу математической индукции формула верна при любом натуральном n.