Номер 624 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 624.
В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, сумма первых двух членов равна 8, а сумма третьего и четвёртого членов равна 72. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, надо сложить, чтобы получить в сумме 242?
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь первый член как b₁ и знаменатель как q. Составь два уравнения из данных условий о суммах, затем раздели одно уравнение на другое, чтобы найти q.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим первый член прогрессии как b₁, а знаменатель как q. Все члены положительны, значит b₁ > 0 и q > 0.
Шаг 1: Составим уравнения из условий задачи.
Сумма первых двух членов равна 8: b₁ + b₂ = 8 b₁ + b₁q = 8 b₁(1 + q) = 8 ... (1)
Сумма третьего и четвёртого членов равна 72: b₃ + b₄ = 72 b₁q² + b₁q³ = 72 b₁q²(1 + q) = 72 ... (2)
Шаг 2: Разделим уравнение (2) на уравнение (1).
[b₁q²(1 + q)] / [b₁(1 + q)] = 72 / 8 q² = 9 q = 3 (берём положительный корень, так как все члены положительны)
Шаг 3: Найдём первый член b₁.
Подставим q = 3 в уравнение (1): b₁(1 + 3) = 8 b₁ · 4 = 8 b₁ = 2
Шаг 4: Проверим условия. Первые два члена: 2 + 2·3 = 2 + 6 = 8 ✓ Третий и четвёртый: 2·3² + 2·3³ = 2·9 + 2·27 = 18 + 54 = 72 ✓
Шаг 5: Найдём, сколько членов нужно сложить, чтобы получить 242.
Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии: Sₙ = b₁(qⁿ - 1) / (q - 1)
Подставляем b₁ = 2, q = 3: Sₙ = 2(3ⁿ - 1) / (3 - 1) Sₙ = 2(3ⁿ - 1) / 2 Sₙ = 3ⁿ - 1
По условию Sₙ = 242: 3ⁿ - 1 = 242 3ⁿ = 243 3ⁿ = 3⁵ n = 5
Шаг 6: Проверим: S₅ = 3⁵ - 1 = 243 - 1 = 242 ✓