Номер 574 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 574.
Найдите:
а) сумму 2 + 4 + 6 + ... + 2n, слагаемыми которой являются все чётные натуральные числа от 2 до 2n;
б) сумму 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1), слагаемыми которой являются все нечётные натуральные числа от 1 до 2n – 1.
💡 Подсказка (без ответа)
В обоих случаях перед тобой арифметическая прогрессия. Определи первый член, последний член и количество членов, затем примени формулу суммы S = (a₁ + aₙ) · n / 2. Обрати внимание: в пункте б) сколько слагаемых в последовательности 1, 3, 5, ..., 2n – 1?
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
а) Сумма чётных чисел: 2 + 4 + 6 + ... + 2n
Это арифметическая прогрессия, где:
- первый член a₁ = 2
- разность d = 2
- последний член aₙ = 2n
- количество членов = n
Используем формулу суммы арифметической прогрессии:
S = (a₁ + aₙ) · n / 2
S = (2 + 2n) · n / 2
S = 2(1 + n) · n / 2
S = n(1 + n)
S = n + n²
Ответ: S = n² + n или S = n(n + 1)
б) Сумма нечётных чисел: 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1)
Это арифметическая прогрессия, где:
- первый член a₁ = 1
- разность d = 2
- последний член aₙ = 2n – 1
- количество членов = n
Используем формулу суммы:
S = (a₁ + aₙ) · n / 2
S = (1 + (2n – 1)) · n / 2
S = (1 + 2n – 1) · n / 2
S = 2n · n / 2
S = n²
Ответ: S = n²