Номер 549 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 549.
(Для работы в парах.) На стороне ОА угла АОВ от его вершины отложены равные отрезки и через их концы проведены паралельные прямые (рис. 68). Длина отрезка А1В1 равна 1,5 см. Найдите длину отрезка:
а) А5В5; б) А10В10.
1) Обсудите, какое известное вам из курса геометрии свойства надо использовать для решения задачи.
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто – задание б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание, и исправьте ошибки, если они допущены.
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомните теорему Фалеса о параллельных прямых, пересекающих стороны угла. Подумайте, во сколько раз отрезок АₙВₙ больше отрезка А₁В₁, если параллельная прямая проведена через точку, которая в n раз дальше от вершины О, чем первая точка.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Решение:
- Какое свойство использовать? Это задача на применение теоремы Фалеса (или свойства параллельных прямых). Теорема гласит: если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то на другой стороне угла также получатся равные отрезки.
Из этого следует важный вывод: отрезки, отсекаемые параллельными прямыми на сторонах угла, пропорциональны. Точнее, если параллельные прямые делят одну сторону на n равных частей, то они делят другую сторону тоже на n равных частей.
Это значит, что все отрезки A₁B₁, A₂B₂, A₃B₃, ... образуют арифметическую прогрессию, где каждый следующий отрезок больше предыдущего на одно и то же значение.
Так как A₁B₁ = 1,5 см, и это первый отрезок, то: A₂B₂ = 2 × 1,5 = 3 см A₃B₃ = 3 × 1,5 = 4,5 см AₙBₙ = n × 1,5 см
- Решение задания:
a) Найти А₅В₅: А₅В₅ = 5 × А₁В₁ = 5 × 1,5 = 7,5 см
б) Найти А₁₀В₁₀: А₁₀В₁₀ = 10 × А₁В₁ = 10 × 1,5 = 15 см
- Проверка: Оба результата логичны и следуют из одного правила. Если увеличить номер отрезка в 2 раза (с 5 на 10), то и длина увеличится в 2 раза (с 7,5 см на 15 см). Это подтверждает правильность решения.