Номер 507 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 507.
Если числитель обыкновенной дроби возвести в квадрат, а знаменатель уменьшить на 1, то получится дробь, равная 2. Если же числитель дроби уменьшить на 1 , а знаменатель увеличить на 1, то получится дробь, равная 1/4. Найдите эту дробь.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь числитель как x, знаменатель как y. Составь два уравнения по двум условиям задачи. Из второго уравнения выражай y через x и подставляй в первое.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим искомую дробь как x/y, где x — числитель, y — знаменатель.
По условию задачи составим два уравнения:
Первое условие: «Если числитель возвести в квадрат, а знаменатель уменьшить на 1, то получится дробь, равная 2»
x²/(y - 1) = 2
Умножим обе части на (y - 1): x² = 2(y - 1) x² = 2y - 2
Второе условие: «Если числитель уменьшить на 1, а знаменатель увеличить на 1, то получится дробь, равная 1/4»
(x - 1)/(y + 1) = 1/4
Перемножим крест-накрест: 4(x - 1) = y + 1 4x - 4 = y + 1 y = 4x - 5
Подставим y = 4x - 5 в первое уравнение:
x² = 2(4x - 5) - 2 x² = 8x - 10 - 2 x² = 8x - 12 x² - 8x + 12 = 0
Решим квадратное уравнение:
По формуле: D = 64 - 48 = 16
x₁ = (8 + 4)/2 = 6 x₂ = (8 - 4)/2 = 2
Найдём соответствующие значения y:
При x₁ = 6: y₁ = 4·6 - 5 = 24 - 5 = 19 При x₂ = 2: y₂ = 4·2 - 5 = 8 - 5 = 3
Проверим оба решения:
Для дроби 6/19:
- 36/(19 - 1) = 36/18 = 2 ✓
- (6 - 1)/(19 + 1) = 5/20 = 1/4 ✓
Для дроби 2/3:
- 4/(3 - 1) = 4/2 = 2 ✓
- (2 - 1)/(3 + 1) = 1/4 ✓
Оба решения подходят!