Номер 508 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 508.
Если числитель обыкновенной дроби увеличить на 7, а знаменатель возвезти в квадрат, то получится дробь, равная 3/4. Если же числитель оставить без изменения, а знаменатель увеличить на 6, то получится дробь, равная 1/2. Найдите эту дробь.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь числитель как x, знаменатель как y и составь два уравнения по условиям задачи. Из второго уравнения выражается y через x, затем подставляется в первое.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим числитель дроби как x, а знаменатель как y. Неизвестная дробь имеет вид x/y.
По условию задачи составим два уравнения:
Первое условие: Числитель увеличили на 7, знаменатель возвели в квадрат, получилась дробь 3/4.
(x + 7)/y² = 3/4
Преобразуем: 4(x + 7) = 3y² 4x + 28 = 3y² — уравнение (1)
Второе условие: Числитель оставили, знаменатель увеличили на 6, получилась дробь 1/2.
x/(y + 6) = 1/2
Преобразуем: 2x = y + 6 y = 2x - 6 — уравнение (2)
Решение системы:
Подставим y = 2x - 6 в уравнение (1):
4x + 28 = 3(2x - 6)² 4x + 28 = 3(4x² - 24x + 36) 4x + 28 = 12x² - 72x + 108 0 = 12x² - 72x - 4x + 108 - 28 0 = 12x² - 76x + 80
Делим на 4: 3x² - 19x + 20 = 0
Решаем через дискриминант: D = 19² - 4·3·20 = 361 - 240 = 121 = 11²
x = (19 ± 11)/6
x₁ = (19 + 11)/6 = 30/6 = 5 x₂ = (19 - 11)/6 = 8/6 = 4/3
Для x₁ = 5: y = 2·5 - 6 = 4 Дробь: 5/4
Проверка:
- (5 + 7)/4² = 12/16 = 3/4 ✓
- 5/(4 + 6) = 5/10 = 1/2 ✓
Для x₂ = 4/3: y = 2·(4/3) - 6 = 8/3 - 6 = 8/3 - 18/3 = -10/3 (отрицательный знаменатель — не подходит)
Ответ: 5/4 или 1,25