Номер 482 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 482.
Докажите, что уравнение имеет единственное решение:
а) х2 + у2 + 2х + 1 = 0;
б) х2 – 2х + у2 + 4у + 5 = 0.
💡 Подсказка (без ответа)
Приведи каждое уравнение к виду суммы квадратов (сгруппируй члены с х и с у, дополни до полного квадрата). Помни: сумма квадратов равна нулю только когда каждый квадрат равен нулю.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Оба уравнения нужно привести к виду суммы квадратов. Если сумма квадратов равна нулю, то каждый квадрат равен нулю.
а) х² + у² + 2х + 1 = 0
Переgroup члены с х: (х² + 2х + 1) + у² = 0
Видим формулу квадрата суммы (х + 1)²: (х + 1)² + у² = 0
Сумма двух квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю: (х + 1)² = 0 и у² = 0
Отсюда: х + 1 = 0 ⟹ х = -1 у = 0
Единственное решение: (-1; 0)
б) х² – 2х + у² + 4у + 5 = 0
Группируем отдельно члены с х и с у: (х² – 2х) + (у² + 4у) + 5 = 0
Дополняем до полного квадрата:
- для х²: (х² – 2х + 1) – 1 = (х – 1)²
- для у²: (у² + 4у + 4) – 4 = (у + 2)²
Подставляем: (х – 1)² – 1 + (у + 2)² – 4 + 5 = 0
Упрощаем: (х – 1)² + (у + 2)² – 1 – 4 + 5 = 0 (х – 1)² + (у + 2)² = 0
Сумма двух квадратов равна нулю только когда оба квадрата равны нулю: (х – 1)² = 0 и (у + 2)² = 0
Отсюда: х – 1 = 0 ⟹ х = 1 у + 2 = 0 ⟹ у = -2
Единственное решение: (1; -2)