Номер 481 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 481.
Докажите, что уравнение не имеет решений:
a) x2 + 4xy + 4у2 + 5 = 0;
б) x2 – 2xy + 8 + y2 = 0;
в) x2 – 2x + y2 – 4y + 6 = 0;
г) x2y2 – 2xy + 3 = 0.
💡 Подсказка (без ответа)
В каждом случае постарайся выделить полный квадрат (или сумму полных квадратов). После этого ты получишь выражение вида (...)² = отрицательное число, что невозможно, так как квадрат всегда неотрицателен.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Докажем, что каждое уравнение не имеет решений, выделяя полные квадраты и используя свойства неравенств.
а) x² + 4xy + 4y² + 5 = 0
Шаг 1: Заметим, что x² + 4xy + 4y² — это полный квадрат. Шаг 2: Преобразуем: (x + 2y)² + 5 = 0 Шаг 3: Перенесём 5: (x + 2y)² = -5 Шаг 4: Квадрат любого числа всегда ≥ 0, поэтому (x + 2y)² ≥ 0, а значит не может равняться -5. Вывод: уравнение не имеет решений.
б) x² – 2xy + 8 + y² = 0
Шаг 1: Перепишем в виде: x² – 2xy + y² + 8 = 0 Шаг 2: Выделим полный квадрат: (x – y)² + 8 = 0 Шаг 3: Перенесём 8: (x – y)² = -8 Шаг 4: Квадрат любого числа ≥ 0, поэтому не может равняться -8. Вывод: уравнение не имеет решений.
в) x² – 2x + y² – 4y + 6 = 0
Шаг 1: Сгруппируем слагаемые с x и y отдельно: (x² – 2x) + (y² – 4y) + 6 = 0 Шаг 2: Выделим полные квадраты: (x² – 2x + 1 – 1) + (y² – 4y + 4 – 4) + 6 = 0 Шаг 3: Преобразуем: (x – 1)² – 1 + (y – 2)² – 4 + 6 = 0 Шаг 4: Упростим: (x – 1)² + (y – 2)² + 1 = 0 Шаг 5: Перенесём 1: (x – 1)² + (y – 2)² = -1 Шаг 6: Сумма двух квадратов всегда ≥ 0, поэтому не может равняться -1. Вывод: уравнение не имеет решений.
г) x²y² – 2xy + 3 = 0
Шаг 1: Заметим, что x²y² и 2xy можно рассматривать как (xy)². Шаг 2: Пусть t = xy. Тогда уравнение принимает вид: t² – 2t + 3 = 0 Шаг 3: Выделим полный квадрат: t² – 2t + 1 – 1 + 3 = 0 Шаг 4: Преобразуем: (t – 1)² + 2 = 0 Шаг 5: Перенесём 2: (t – 1)² = -2 Шаг 6: Квадрат любого числа ≥ 0, поэтому не может равняться -2. Вывод: уравнение не имеет решений.