Номер 428 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 428.
Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см2, а его гипотенуза равна 10 см. Каковы катеты треугольника?
💡 Подсказка (без ответа)
Составь систему уравнений: одно из условия о площади (ab/2 = 24), второе из теоремы Пифагора (a² + b² = 100). Найди сумму a + b через формулу (a + b)² = a² + b² + 2ab.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим катеты прямоугольного треугольника как a и b.
Используем два условия:
- Площадь прямоугольного треугольника:
S = (a × b)/2 = 24
Умножаем обе части на 2:
a × b = 48
- По теореме Пифагора (гипотенуза c = 10):
a² + b² = 10² = 100
Теперь у нас есть система:
a × b = 48
a² + b² = 100
Используем алгебраический приём. Знаем, что:
(a + b)² = a² + 2ab + b² = (a² + b²) + 2ab = 100 + 2(48) = 100 + 96 = 196
Поэтому:
a + b = 14 (берём положительный корень)
Теперь найдём a и b. Они — корни квадратного уравнения:
t² - 14t + 48 = 0
По формуле дискриминанта:
D = 14² - 4(1)(48) = 196 - 192 = 4
t = (14 ± 2)/2
t₁ = (14 + 2)/2 = 8
t₂ = (14 - 2)/2 = 6
Проверка:
6 × 8 = 48 ✓
6² + 8² = 36 + 64 = 100 ✓
Ответ: катеты равны 6 см и 8 см.