Номер 427 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 427.
На каждой из сторон прямоугольника построен квадрат. Сумма площадей квадратов равна 122 см2. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что его площадь равна 30 см2.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь стороны прямоугольника как а и b. На каждой паре противоположных сторон построены квадраты, значит, всего 4 квадрата: два со стороной а и два со стороной b. Составь два уравнения — для суммы площадей квадратов и для площади прямоугольника, получится система.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим стороны прямоугольника как а и b см.
Шаг 1: Понимаем, что построено На каждой стороне прямоугольника построен квадрат: — на двух сторонах длины а — два квадрата со стороной а — на двух сторонах длины b — два квадрата со стороной b
Шаг 2: Составляем уравнение для суммы площадей квадратов Площадь каждого квадрата со стороной а равна а² Площадь каждого квадрата со стороной b равна b²
Общая площадь всех четырёх квадратов: 2а² + 2b² = 122
Упростим: а² + b² = 61
Шаг 3: Составляем второе уравнение Площадь прямоугольника: аb = 30
Шаг 4: Решаем систему уравнений а² + b² = 61 аb = 30
Из второго уравнения: b = 30/а
Подставим в первое: а² + (30/а)² = 61 а² + 900/а² = 61
Умножим на а²: а⁴ + 900 = 61а² а⁴ - 61а² + 900 = 0
Шаг 5: Решаем биквадратное уравнение Пусть а² = х, тогда: х² - 61х + 900 = 0
По формуле дискриминанта: D = 61² - 4·900 = 3721 - 3600 = 121 √D = 11
х₁ = (61 + 11)/2 = 72/2 = 36 х₂ = (61 - 11)/2 = 50/2 = 25
Шаг 6: Находим стороны Если а² = 36, то а = 6 см Тогда b = 30/6 = 5 см
Если а² = 25, то а = 5 см Тогда b = 30/5 = 6 см
Шаг 7: Проверка 6² + 5² = 36 + 25 = 61 ✓ 2·36 + 2·25 = 72 + 50 = 122 ✓ 6·5 = 30 ✓
Ответ: стороны прямоугольника равны 5 см и 6 см