Номер 429 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 429.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Если один из его катетов увеличить на 4 см, то гипотенуза увеличится на 2 см. Найдите катеты треугольника.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь катеты буквами a и b. Составь два уравнения по теореме Пифагора: одно для исходного треугольника, другое для изменённого. Вычти одно уравнение из другого, чтобы найти один катет.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим катеты прямоугольного треугольника как a и b.
Шаг 1. Составим уравнение по теореме Пифагора для исходного треугольника:
a² + b² = 13² = 169
Шаг 2. Составим уравнение для нового треугольника:
Если один катет увеличить на 4 см, получится катет (a + 4). Новая гипотенуза станет 13 + 2 = 15 см.
(a + 4)² + b² = 15² = 225
Шаг 3. Раскроем скобки во втором уравнении:
a² + 8a + 16 + b² = 225
Шаг 4. Подставим a² + b² = 169 в полученное уравнение:
169 + 8a + 16 = 225
8a + 185 = 225
8a = 40
a = 5
Шаг 5. Найдём второй катет:
Из первого уравнения: 5² + b² = 169
25 + b² = 169
b² = 144
b = 12 (берём положительное значение)
Шаг 6. Проверка:
Исходный треугольник: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² ✓
Новый треугольник: (5 + 4)² + 12² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15² ✓