Номер 424 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 424.
Периметр прямоугольного треугольника равен 84 см, а его гипотенуза равна 37 см. Найдите площадь этого треугольника.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначьте катеты как a и b. Из условия периметра найдите сумму катетов, затем составьте систему: сумма катетов и теорема Пифагора. Решите квадратное уравнение для нахождения длин катетов, а потом вычислите площадь по формуле S = (1/2)ab.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим катеты прямоугольного треугольника как a и b, гипотенузу как c.
Дано:
- Периметр: a + b + c = 84
- Гипотенуза: c = 37
- По теореме Пифагора: a² + b² = c²
Шаг 1. Найдём сумму катетов. Из условия периметра: a + b + 37 = 84 a + b = 84 - 37 = 47
Шаг 2. Используем теорему Пифагора. a² + b² = 37² = 1369
Шаг 3. Составим систему уравнений для нахождения a и b. У нас есть:
- a + b = 47
- a² + b² = 1369
Из первого уравнения: b = 47 - a
Подставим во второе: a² + (47 - a)² = 1369 a² + 2209 - 94a + a² = 1369 2a² - 94a + 2209 = 1369 2a² - 94a + 840 = 0 a² - 47a + 420 = 0
Шаг 4. Решим квадратное уравнение через дискриминант. D = 47² - 4·1·420 = 2209 - 1680 = 529 = 23²
a = (47 + 23)/2 = 70/2 = 35 или a = (47 - 23)/2 = 24/2 = 12
Шаг 5. Найдём оба катета. Если a = 35, то b = 47 - 35 = 12 Если a = 12, то b = 47 - 12 = 35
Катеты: 12 см и 35 см
Шаг 6. Проверка: 12² + 35² = 144 + 1225 = 1369 = 37² ✓
Шаг 7. Вычислим площадь. S = (1/2)·a·b = (1/2)·12·35 = (1/2)·420 = 210 см²