Номер 31 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 31.
Сравните числа с и $$\sqrt{c}$$ при условии, что: а) с > 1; б) 0 > с > 1.
Существует ли значение с, при котором верно равенство $$\sqrt{c}$$ = с?
💡 Подсказка (без ответа)
Подставь конкретные числа (например, 4 и 0,25) и сравни. Потом реши уравнение √c = c, возведя обе части в квадрат.
Решение по шагам
Сравним числа c и √c при разных условиях.
а) Когда c > 1
Возьмём конкретный пример: c = 4
- √4 = 2
- Сравниваем: 2 < 4, значит √c < c
Докажем в общем виде. Если c > 1, то:
- √c · √c = c
- Так как √c > 0, разделим обе части неравенства c > 1 на √c:
- c/√c > 1/√c
- √c > 1/√c
- Умножим на √c (положительное число):
- c > √c
Вывод: c > √c при c > 1
**б) Когда 0 < c < 1** (примечание: в условии вероятно опечатка "0 > с > 1", правильно "0 < c < 1")
Возьмём конкретный пример: c = 0,25
- √0,25 = 0,5
- Сравниваем: 0,5 > 0,25, значит √c > c
Докажем в общем виде. Если 0 < c < 1, то:
- Возведём в квадрат: c² < c (при 0 < c < 1 это верно)
- Извлечём корень: √(c²) < √c
- c < √c
Вывод: √c > c при 0 < c < 1
Существует ли значение c, при котором √c = c?
Решим уравнение: √c = c
Возведём обе части в квадрат:
- c = c²
- c² - c = 0
- c(c - 1) = 0
- c = 0 или c = 1
Проверка:
- При c = 0: √0 = 0 ✓
- При c = 1: √1 = 1 ✓
Вывод: Равенство верно при c = 0 и c = 1