Номер 151 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 151.
Постройте график функции у = −х2 + 2х + 8 и найдите, используя график:
а) значения функции при х = 2,5; −0,5; −3;
б) значения аргумента, при которых у = 6; 0; −2;
в) нули функции и промежутки знакопостоянства;
г) промежутки возрастания и убывания функции, множество значений функции.
💡 Подсказка (без ответа)
Начните с того, что это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдите вершину по формуле х = −b/(2a), затем найдите точки пересечения с осями координат — это поможет построить график. После этого по графику легко отвечать на все вопросы задания.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Задание: Построить график функции у = −х² + 2х + 8 и найти различные характеристики.
Шаг 1. Анализ функции
Функция у = −х² + 2х + 8 — это парабола, ветви направлены вниз (коэффициент при х² отрицательный).
Шаг 2. Найдём вершину параболы
Координата х вершины: х = −b/(2a) = −2/(2·(−1)) = −2/(−2) = 1
Координата у вершины: у(1) = −1² + 2·1 + 8 = −1 + 2 + 8 = 9
Вершина параболы: (1; 9)
Шаг 3. Найдём точки пересечения с осями
Пересечение с осью у: х = 0, у = 8. Точка (0; 8).
Пересечение с осью х (нули функции): −х² + 2х + 8 = 0
Умножим на −1: х² − 2х − 8 = 0
По формуле: х = (2 ± √(4 + 32))/2 = (2 ± √36)/2 = (2 ± 6)/2
х₁ = (2 + 6)/2 = 4; х₂ = (2 − 6)/2 = −2
Нули функции: х = −2 и х = 4. Точки (−2; 0) и (4; 0).
Шаг 4. Дополнительные точки для графика
x = 2: у = −4 + 4 + 8 = 8. Точка (2; 8).
x = 3: у = −9 + 6 + 8 = 5. Точка (3; 5).
x = −1: у = −1 − 2 + 8 = 5. Точка (−1; 5).
Шаг 5. Строим график — парабола с вершиной (1; 9), проходящая через (−2; 0), (0; 8), (4; 0).
Ответы на пункты:
а) Значения функции при х = 2,5; −0,5; −3
При х = 2,5: у = −(2,5)² + 2·2,5 + 8 = −6,25 + 5 + 8 = 6,75
При х = −0,5: у = −(−0,5)² + 2·(−0,5) + 8 = −0,25 − 1 + 8 = 6,75
При х = −3: у = −(−3)² + 2·(−3) + 8 = −9 − 6 + 8 = −7
б) Значения аргумента, при которых у = 6; 0; −2
При у = 6: −х² + 2х + 8 = 6 ⟹ −х² + 2х + 2 = 0 ⟹ х² − 2х − 2 = 0
x = (2 ± √(4 + 8))/2 = (2 ± √12)/2 = (2 ± 2√3)/2 = 1 ± √3
x ≈ 1 − 1,73 ≈ −0,73 и x ≈ 1 + 1,73 ≈ 2,73
При у = 0: х = −2 и х = 4 (нули функции)
При у = −2: −х² + 2х + 8 = −2 ⟹ −х² + 2х + 10 = 0 ⟹ х² − 2х − 10 = 0
x = (2 ± √(4 + 40))/2 = (2 ± √44)/2 = (2 ± 2√11)/2 = 1 ± √11
x ≈ 1 − 3,32 ≈ −2,32 и x ≈ 1 + 3,32 ≈ 4,32
в) Нули функции и промежутки знакопостоянства
Нули функции: х = −2 и х = 4
Промежутки знакопостоянства:
- у > 0 при −2 < х < 4
- у < 0 при х < −2 или х > 4
г) Промежутки возрастания и убывания, множество значений
Промежутки возрастания: (−∞; 1] — функция возрастает
Промежутки убывания: [1; +∞) — функция убывает
Множество значений: у ≤ 9 или (−∞; 9]