Номер 104 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 104.
Докажите, что функция у = f(x) является нечётной, если:
а) f(x) = х + 1/х;
б) f(x) = 2х3 − х.
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни определение нечётной функции: нужно найти f(−x), подставив вместо x значение −x. Потом проверь, равна ли она −f(x). Не забудь про область определения — она должна быть симметричной относительно нуля.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Чтобы доказать, что функция нечётная, нужно проверить два условия:
- Область определения функции симметрична относительно нуля
- Выполняется условие: f(−x) = −f(x)
а) f(x) = x + 1/x
Найдём область определения: x ≠ 0. Это множество симметрично относительно нуля (если x в области определения, то и −x в области определения).
Вычислим f(−x): f(−x) = (−x) + 1/(−x) = −x − 1/x
Вычислим −f(x): −f(x) = −(x + 1/x) = −x − 1/x
Сравним: f(−x) = −x − 1/x и −f(x) = −x − 1/x
Получаем f(−x) = −f(x) ✓
Функция нечётная, что и требовалось доказать.
б) f(x) = 2x³ − x
Область определения: все действительные числа (x ∈ ℝ). Множество симметрично относительно нуля.
Вычислим f(−x): f(−x) = 2(−x)³ − (−x) = 2·(−x³) + x = −2x³ + x
Вычислим −f(x): −f(x) = −(2x³ − x) = −2x³ + x
Сравним: f(−x) = −2x³ + x и −f(x) = −2x³ + x
Получаем f(−x) = −f(x) ✓
Функция нечётная, что и требовалось доказать.