Номер 934 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 934.
Докажите, что сумма двух противоположных сторон выпуклого четырёугольника меньше суммы его диагоналей.
💡 Подсказка (без ответа)
Начните с того, что проведите обе диагонали четырёхугольника — они пересекутся в одной точке O. Затем отдельно рассмотрите два треугольника (AOB и COD) и примените к каждому неравенство треугольника.
Решение по шагам
Обозначим выпуклый четырёхугольник как ABCD, где AB и CD — противоположные стороны, а AC и BD — диагонали.
Нужно доказать: AB + CD < AC + BD
Шаг 1. Проведём обе диагонали AC и BD. Они пересекаются в точке O внутри четырёхугольника (так как четырёхугольник выпуклый).
Шаг 2. Рассмотрим треугольник AOB. По неравенству треугольника: AB < AO + OB
Шаг 3. Рассмотрим треугольник COD. По неравенству треугольника: CD < CO + OD
Шаг 4. Сложим оба неравенства: AB + CD < (AO + OB) + (CO + OD) AB + CD < (AO + CO) + (OB + OD)
Шаг 5. Заметим, что:
- AO + CO = AC (точка O лежит на диагонали AC)
- OB + OD = BD (точка O лежит на диагонали BD)
Шаг 6. Подставим: AB + CD < AC + BD
Что и требовалось доказать.