Номер 933 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 933.
Докажите, что каждая диагональ выпуклого четырёхугольника меньше его полупериметра.
💡 Подсказка (без ответа)
Каждую диагональ рассмотри как сторону двух треугольников, на которые она делит четырёхугольник. Примени неравенство треугольника для каждого из них, а затем сложи полученные неравенства.
Решение по шагам
Рассмотрим выпуклый четырёхугольник ABCD с диагоналями AC и BD. Обозначим его стороны как AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Полупериметр p = (a + b + c + d)/2.
Докажем, что диагональ AC меньше полупериметра.
Шаг 1. Применим неравенство треугольника. Диагональ AC делит четырёхугольник на два треугольника: ABC и ACD.
Шаг 2. В треугольнике ABC применяем неравенство треугольника: AC < AB + BC AC < a + b
Шаг 3. В треугольнике ACD применяем неравенство треугольника: AC < CD + DA AC < c + d
Шаг 4. Сложим оба неравенства: AC + AC < a + b + c + d 2·AC < a + b + c + d AC < (a + b + c + d)/2 AC < p
Шаг 5. Аналогично доказываем для диагонали BD. Диагональ BD делит четырёхугольник на два треугольника: ABD и BCD.
В треугольнике ABD: BD < AB + DA, то есть BD < a + d В треугольнике BCD: BD < BC + CD, то есть BD < b + c
Сложим: BD + BD < a + d + b + c 2·BD < a + b + c + d BD < p
Вывод: обе диагонали выпуклого четырёхугольника меньше его полупериметра.