Номер 932 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 932.
Докажите, что периметр четырёхугольника больше суммы его диагоналей.
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни неравенство треугольника: сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны. Примени его к четырём треугольникам, которые образуются при проведении обеих диагоналей четырёхугольника.
Решение по шагам
Обозначим четырёхугольник ABCD с диагоналями AC и BD, которые пересекаются в точке O.
Шаг 1: Применим неравенство треугольника
Для треугольника ABC неравенство треугольника даёт: AB + BC > AC
Шаг 2: Применим неравенство к другому треугольнику
Для треугольника ACD неравенство треугольника даёт: CD + DA > AC
Шаг 3: Сложим два неравенства
АБ + BC + CD + DA > AC + AC AB + BC + CD + DA > 2AC
Шаг 4: Применим неравенство треугольника к диагонали BD
Для треугольника ABD: AB + AD > BD
Для треугольника BCD: BC + CD > BD
Шаг 5: Сложим эти два неравенства
AB + AD + BC + CD > 2BD
Шаг 6: Сложим результаты шагов 3 и 5
(AB + BC + CD + DA) + (AB + AD + BC + CD) > 2AC + 2BD
2(AB + BC + CD + DA) > 2(AC + BD)
Делим обе части на 2:
AB + BC + CD + DA > AC + BD
Вывод: Периметр четырёхугольника больше суммы его диагоналей. ✓