Номер 91 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 91.
Докажите, что выражение (а + 4)(а – 8) + 4(2а + 9) при всех значениях а принимает неотрицательные значения.
💡 Подсказка (без ответа)
Раскройте скобки в обеих частях выражения и приведите подобные члены. Посмотрите, получится ли полный квадрат — выражение вида (х + b)² или (х – b)².
Решение по шагам
Нужно раскрыть скобки и упростить выражение, а потом показать, что оно не может быть отрицательным.
Шаг 1: Раскроем первые скобки (а + 4)(а – 8)
(а + 4)(а – 8) = а² – 8а + 4а – 32 = а² – 4а – 32
Шаг 2: Раскроем вторые скобки 4(2а + 9)
4(2а + 9) = 8а + 36
Шаг 3: Сложим оба выражения
(а + 4)(а – 8) + 4(2а + 9) = а² – 4а – 32 + 8а + 36
Шаг 4: Приведём подобные члены
а² – 4а + 8а – 32 + 36 = а² + 4а + 4
Шаг 5: Узнаём в полученном выражении полный квадрат
а² + 4а + 4 = (а + 2)²
Шаг 6: Делаем вывод
Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю:
(а + 2)² ≥ 0 при всех значениях а
Это значит, что исходное выражение принимает только неотрицательные значения.
Что и требовалось доказать.