Номер 892 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 892.
Докажите, что при всех значениях переменной верно неравенство :
$$\frac{a² + 2}{\sqrt{a² + 1}}$$ ≥ 2.
💡 Подсказка (без ответа)
Умножь обе части на √(a² + 1) (положительное число). Затем переноси в левую часть и замени √(a² + 1) новой переменной t. Ты должен узнать формулу полного квадрата.
Решение по шагам
Нужно доказать, что (a² + 2) / √(a² + 1) ≥ 2 при всех значениях a.
Шаг 1. Так как √(a² + 1) > 0 для всех a, можно умножить обе части неравенства на √(a² + 1) без изменения знака:
a² + 2 ≥ 2√(a² + 1)
Шаг 2. Перенесём все в левую часть:
a² + 2 - 2√(a² + 1) ≥ 0
Шаг 3. Заметим, что это выражение можно переписать как полный квадрат. Обозначим √(a² + 1) = t, тогда a² + 1 = t² и a² = t² - 1:
(t² - 1) + 2 - 2t ≥ 0
t² - 2t + 1 ≥ 0
Шаг 4. Узнаём формулу квадрата разности:
(t - 1)² ≥ 0
Шаг 5. Это неравенство всегда верно, так как квадрат любого числа неотрицателен.
Шаг 6. Подставим обратно t = √(a² + 1):
(√(a² + 1) - 1)² ≥ 0 ✓
Это верно при всех значениях a. Равенство достигается, когда √(a² + 1) = 1, то есть a² + 1 = 1, откуда a = 0.
Вывод: неравенство доказано.