Номер 891 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 891.
Выполняется ли неравенство a² + 4/2 ≥ $$\sqrt{a² + 3}$$ при всех значениях а?
💡 Подсказка (без ответа)
Упростите левую часть, затем возведите обе части неравенства в квадрат (они положительны). Перенесите всё в левую часть и покажите, что получившееся выражение всегда положительно.
Решение по шагам
Нужно проверить, верно ли неравенство a² + 4/2 ≥ √(a² + 3) для всех значений a.
Шаг 1. Упростим левую часть. a² + 4/2 = a² + 2
Шаг 2. Нужно проверить: a² + 2 ≥ √(a² + 3) для всех a.
Шаг 3. Обе части неравенства положительны (слева a² + 2 ≥ 2, справа корень из положительного числа). Возведём обе части в квадрат.
Шаг 4. Возводим в квадрат: (a² + 2)² ≥ a² + 3
Шаг 5. Раскроем скобки слева: a⁴ + 4a² + 4 ≥ a² + 3
Шаг 6. Перенесём все в левую часть: a⁴ + 4a² + 4 - a² - 3 ≥ 0 a⁴ + 3a² + 1 ≥ 0
Шаг 7. Обозначим a² = t, где t ≥ 0: t² + 3t + 1 ≥ 0
Шаг 8. Проверим дискриминант квадратного трёхчлена t² + 3t + 1: D = 3² - 4·1·1 = 9 - 4 = 5 > 0
Шаг 9. Корни есть, но они отрицательные (так как сумма корней -3 < 0 и произведение 1 > 0, оба корня отрицательны). Значит, при t ≥ 0 выражение t² + 3t + 1 > 0.
Шаг 10. Следовательно, a⁴ + 3a² + 1 > 0 при всех значениях a.
Поскольку при возведении в квадрат мы не нарушили знак неравенства (обе части были положительны), исходное неравенство верно.