Номер 890 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 890.
Докажите, что если a < b < c, то a < a + b + c/3 < c.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь среднее арифметическое (a + b + c)/3 и докажи отдельно оба неравенства. Умножь на 3 и упрости, используя условие a < b < c.
Решение по шагам
Нужно доказать два неравенства: первое a < (a + b + c)/3 и второе (a + b + c)/3 < c.
Первое неравенство: a < (a + b + c)/3
Умножим обе части на 3 (3 > 0, знак не меняется): 3a < a + b + c
Перенесём 3a в правую часть: 0 < a + b + c - 3a 0 < -2a + b + c 2a < b + c
Так как a < b и a < c, то: • a + a < b + c (прибавляем a к обеим частям неравенства a < b и a < c) • 2a < b + c ✓
Это верно, поэтому первое неравенство доказано.
Второе неравенство: (a + b + c)/3 < c
Умножим обе части на 3 (3 > 0, знак не меняется): a + b + c < 3c
Перенесём c в левую часть: a + b < 3c - c a + b < 2c
Так как b < c и a < c, то: • b + c < c + c (прибавляем c к неравенству b < c) • b + c < 2c • a + b < a + c < c + c = 2c ✓
Это верно, поэтому второе неравенство доказано.
Оба неравенства верны, значит: a < (a + b + c)/3 < c