Номер 854 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 854.
Чтобы выполнить некоторое производственное задание, одному рабочему требуется на 12 ч меньше, чем другому, и на 4 ч больше, ем обоим рабочим для совместного выполнения задания. За сколько часов может выполнить это задание первый рабочий?
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь время работы первого рабочего через х. Выражай время работы второго рабочего и время совместной работы через х, используя условия задачи. Составь уравнение, приравняв сумму производительностей рабочих к их совместной производительности.
Решение по шагам
Обозначим время работы первого рабочего через х часов.
Тогда второй рабочий выполнит задание за (х + 12) часов.
Оба рабочих вместе выполнят задание за (х - 4) часов.
Производительность (часть работы в час):
- первый рабочий: 1/х
- второй рабочий: 1/(х + 12)
- вместе: 1/(х - 4)
Когда рабочие работают вместе, их производительности складываются:
1/х + 1/(х + 12) = 1/(х - 4)
Приводим левую часть к общему знаменателю:
(х + 12 + х)/(х(х + 12)) = 1/(х - 4)
(2х + 12)/(х(х + 12)) = 1/(х - 4)
Перемножаем крест-накрест:
(2х + 12)(х - 4) = х(х + 12)
Раскрываем скобки слева:
2х² - 8х + 12х - 48 = х² + 12х
2х² + 4х - 48 = х² + 12х
Переносим всё в левую часть:
2х² + 4х - 48 - х² - 12х = 0
х² - 8х - 48 = 0
Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
D = 64 + 192 = 256 = 16²
х₁ = (8 + 16)/2 = 24/2 = 12
х₂ = (8 - 16)/2 = -8/2 = -4
Отрицательное значение отбрасываем.
Проверка: первый рабочий работает 12 ч, второй 24 ч, вместе 8 ч. 1/12 + 1/24 = 2/24 + 1/24 = 3/24 = 1/8 ✓
Ответ: 12 часов