Номер 850 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 850.
К бассейну подведены две трубы. Через одну трубу воду наливают в бассейн, а через другую сливают, причём на слив воды требуется на 1 ч больше, чем на его наполнение. Если же открыть обе трубы одновременно, то бассейн наполнится водой за 30 ч. За сколько часов можно наполнить пустой бассейн через первую трубу?
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь через x время заполнения бассейна первой трубой. Вырази время опустошения (через вторую трубу). Запиши производительность каждой трубы как часть бассейна в час. Составь уравнение: производительность первой минус производительность второй равна 1/30.
Решение по шагам
Обозначим через x часов время, за которое первая труба (для наливания) заполнит весь бассейн.
Тогда вторая труба (для слива) опустошает бассейн за (x + 1) часов.
Вычислим производительность каждой трубы (часть бассейна в час):
- Первая труба: 1/x бассейна в час
- Вторая труба: 1/(x+1) бассейна в час (сливает)
Когда обе трубы открыты одновременно, их совместная производительность: 1/x - 1/(x+1) бассейна в час
(Вычитаем, потому что вторая слива, а не наливает)
По условию, при открытых обеих трубах бассейн наполнится за 30 часов, значит совместная производительность равна 1/30:
1/x - 1/(x+1) = 1/30
Привёдём левую часть к общему знаменателю:
(x+1) - x / (x(x+1)) = 1/30
1 / (x(x+1)) = 1/30
Следовательно: x(x+1) = 30
Раскроем скобки: x² + x = 30
x² + x - 30 = 0
Решим квадратное уравнение через дискриминант: D = 1² - 4·1·(-30) = 1 + 120 = 121 = 11²
x₁ = (-1 + 11) / 2 = 10 / 2 = 5
x₂ = (-1 - 11) / 2 = -12 / 2 = -6
Так как время не может быть отрицательным, то x = 5 часов.
Проверка:
- Первая труба наполняет за 5 ч, её производительность: 1/5
- Вторая труба сливает за 6 ч, её производительность: 1/6
- Совместно: 1/5 - 1/6 = 6/30 - 5/30 = 1/30 ✓
- Время наполнения при обеих открытых трубах: 1 ÷ (1/30) = 30 ч ✓