Номер 851 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 851.
Для наполнения бассейна через первую трубу требуется столько же времени, сколько для наполнения через вторую и третью трубы одновременно. Через первую трубу бассейн наполняется на 2 ч быстрее, чем через вторую, и на 8 ч быстрее, чем через третью. Сколько времени требуется для наполнения бассейна через каждую трубу?
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь время наполнения через первую трубу как х часов, выраженные через х другие времена. Составь уравнение, используя тот факт, что производительность первой трубы равна сумме производительностей второй и третьей труб (так как они работают одновременно одно и то же время).
Решение по шагам
Обозначим время наполнения бассейна через первую трубу как х часов.
Тогда:
- через вторую трубу требуется (х + 2) часов
- через третью трубу требуется (х + 8) часов
Производительность (часть бассейна в час):
- первая труба: 1/х
- вторая труба: 1/(х + 2)
- третья труба: 1/(х + 8)
По условию: время заполнения через первую трубу = время заполнения через вторую и третью одновременно.
Это означает, что производительности связаны так: 1/х = 1/(х + 2) + 1/(х + 8)
Решаем уравнение: 1/х = 1/(х + 2) + 1/(х + 8)
Приведём правую часть к общему знаменателю: 1/х = (х + 8 + х + 2)/((х + 2)(х + 8))
1/х = (2х + 10)/((х + 2)(х + 8))
Перемножим крест-накрест: (х + 2)(х + 8) = х(2х + 10)
Раскроем скобки слева: х² + 8х + 2х + 16 = 2х² + 10х
х² + 10х + 16 = 2х² + 10х
Перенесём все в одну сторону: х² + 10х + 16 - 2х² - 10х = 0
-х² + 16 = 0
х² = 16
х = 4 (берём положительный корень)
Проверка:
- первая труба: 4 часа, производительность 1/4
- вторая труба: 6 часов, производительность 1/6
- третья труба: 12 часов, производительность 1/12
Сумма производительностей второй и третьей: 1/6 + 1/12 = 2/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4 ✓
Ответ верен!