Номер 849 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 849.
Через 2 ч 40 мин после отправления плота от пристани А по течению реки навстречу ему от пристани В отошёл катер. Найдите скорость течения реки, если плот и катер встретились на расстоянии 14 км от пристани А, скорость катера в стоячей воде равна 12 км/ч, а расстояние между пристани А и В равно 32 км.:
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь скорость течения как x. Плот идёт со скоростью x, катер против течения — со скоростью (12 - x). Вспомни, что время = расстояние ÷ скорость, и составь уравнение, учитывая, что плот шёл на 8/3 часа дольше.
Решение по шагам
Обозначим скорость течения реки как x км/ч.
Дано: • Скорость катера в стоячей воде: 12 км/ч • Расстояние между пристанями: 32 км • Плот встретился с катером в 14 км от пристани А • Плот отправился на 2 ч 40 мин = 2 2/3 ч = 8/3 ч раньше катера
Шаг 1. Найдём расстояния, которые прошли плот и катер. • Плот прошёл: 14 км (от А к В) • Катер прошёл: 32 - 14 = 18 км (от В к А)
Шаг 2. Выразим время в пути для каждого. • Плот движется со скоростью течения x км/ч • Время в пути плота: t₁ = 14/x ч
• Катер движется против течения со скоростью (12 - x) км/ч • Время в пути катера: t₂ = 18/(12 - x) ч
Шаг 3. Составим уравнение. Плот вышел на 8/3 ч раньше, поэтому:
t₁ = t₂ + 8/3
14/x = 18/(12 - x) + 8/3
Шаг 4. Решим уравнение. 14/x - 18/(12 - x) = 8/3
Приведём к общему знаменателю 3x(12 - x):
14 · 3(12 - x) - 18 · 3x = 8x(12 - x)
42(12 - x) - 54x = 8x(12 - x)
504 - 42x - 54x = 96x - 8x²
504 - 96x = 96x - 8x²
8x² - 192x + 504 = 0
x² - 24x + 63 = 0
Шаг 5. Решим квадратное уравнение через дискриминант. D = 576 - 252 = 324 = 18²
x = (24 ± 18)/2
x₁ = 42/2 = 21 км/ч x₂ = 6/2 = 3 км/ч
Шаг 6. Проверим корни. Если x = 21 км/ч, то скорость катера против течения: 12 - 21 = -9 км/ч (невозможно, катер не сможет идти против течения)
Если x = 3 км/ч: • Время плота: 14/3 ч • Время катера: 18/(12 - 3) = 18/9 = 2 ч • Разница: 14/3 - 2 = 14/3 - 6/3 = 8/3 ч ✓ (это 2 ч 40 мин)
Ответ: 3 км/ч