Номер 842 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 842.
Знаменатель обыкновенной дроби на 3 больше её числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 4, а знаменатель – на 8, то полученная дробь будет на 1/6 больше исходной. Найдите исходную дробь.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь числитель исходной дроби за x, тогда знаменатель будет x + 3. Составь уравнение, используя условие, что новая дробь больше исходной на 1/6. Приведи дроби к общему знаменателю и реши полученное квадратное уравнение.
Решение по шагам
Обозначим числитель исходной дроби за x, тогда знаменатель равен x + 3.
Исходная дробь: x/(x + 3)
После увеличения:
- числитель становится x + 4
- знаменатель становится (x + 3) + 8 = x + 11
Новая дробь: (x + 4)/(x + 11)
По условию новая дробь на 1/6 больше исходной: (x + 4)/(x + 11) = x/(x + 3) + 1/6
Перенесём все в левую часть: (x + 4)/(x + 11) - x/(x + 3) - 1/6 = 0
Приведём к общему знаменателю 6(x + 11)(x + 3): 6(x + 4)(x + 3) - 6x(x + 11) - (x + 11)(x + 3) = 0
Раскроем скобки: 6(x² + 3x + 4x + 12) - 6(x² + 11x) - (x² + 3x + 11x + 33) = 0 6(x² + 7x + 12) - 6x² - 66x - x² - 14x - 33 = 0 6x² + 42x + 72 - 6x² - 66x - x² - 14x - 33 = 0 -x² + 42x - 66x - 14x + 72 - 33 = 0 -x² - 38x + 39 = 0
Умножим на (-1): x² + 38x - 39 = 0
Решаем через дискриминант: D = 38² - 4·1·(-39) = 1444 + 156 = 1600 = 40²
x = (-38 ± 40)/2
x₁ = (-38 + 40)/2 = 2/2 = 1 x₂ = (-38 - 40)/2 = -78/2 = -39
Поскольку числитель дроби должен быть положительным (или хотя бы разумным), берём x = 1.
Тогда знаменатель: 1 + 3 = 4
Исходная дробь: 1/4
Проверка:
- Исходная дробь: 1/4
- Новая дробь: (1 + 4)/(4 + 8) = 5/12
- Разность: 5/12 - 1/4 = 5/12 - 3/12 = 2/12 = 1/6 ✓