Номер 838 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 838.
Катер прошёл 16 км по течению реки и 30 км против течения, затратив на весь путь 1 ч 30 мин. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки составляет 1 км/ч.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь собственную скорость катера через x. Выпиши скорости по течению и против течения, используя скорость течения 1 км/ч. Составь уравнение: сумма времён в пути равна 1,5 часам, используя формулу время = расстояние / скорость.
Решение по шагам
Обозначим собственную скорость катера через x км/ч.
Тогда:
- Скорость катера по течению: (x + 1) км/ч
- Скорость катера против течения: (x - 1) км/ч
Переведём время в часы: 1 ч 30 мин = 1,5 ч
Составим уравнение, используя формулу: время = расстояние / скорость
Время по течению + время против течения = общее время
16/(x + 1) + 30/(x - 1) = 1,5
Приведём к общему знаменателю (x + 1)(x - 1):
16(x - 1) + 30(x + 1) = 1,5(x + 1)(x - 1)
Раскроем скобки слева: 16x - 16 + 30x + 30 = 1,5(x² - 1)
46x + 14 = 1,5x² - 1,5
Перенесём всё в правую часть: 1,5x² - 46x - 1,5 - 14 = 0
1,5x² - 46x - 15,5 = 0
Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби: 3x² - 92x - 31 = 0
Решим через дискриминант: D = 92² - 4·3·(-31) = 8464 + 372 = 8836
√D = √8836 = 94
x = (92 ± 94) / 6
x₁ = (92 + 94) / 6 = 186 / 6 = 31
x₂ = (92 - 94) / 6 = -2 / 6 = -1/3 (отрицательное, не подходит)
Проверка: При x = 31 км/ч
- По течению: 16 / 32 = 0,5 ч
- Против течения: 30 / 30 = 1 ч
- Итого: 0,5 + 1 = 1,5 ч ✓
Ответ: собственная скорость катера 31 км/ч